Dettaglio della Scuola d’Atene (1511) di Raffaello Sanzio – raffigurante Pitagora –

di Ivan Spelti

In un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell’ipotenusa. Pochi di noi non lo sanno e quando a scuola leviamo paletti per dare o no la promozione (io l’ho fatto), il teorema di Pitagora è di sicuro nel mazzo.

Già gli Egizi erano al corrente che un triangolo i cui lati misurano 3,4,5 unità possiede un angolo retto, ma furono forse i greci ad osservare che il quadrato di 3 sommato al quadrato di 4 dava il quadrato di 5 e quindi a scoprire la prova della proposizione generale.

Tutto viene da lontano, come spesso accade, e non mancano le controversie sulle attribuzioni che fingeremo di ignorare, per il nostro scopo.

Il pensiero dell’antica Grecia classica e arcaica fu il risultato di un insieme di elementi che includevano religione e misticismo, difficile da comprendere per noi contemporanei dotati di una mentalità modellata dalla tradizione positivista e dall’Illuminismo.

Pitagora rappresenta un esempio di questa complessità. L’ambivalenza di Pitagora è quella dell’uomo religioso coinvolto nella riflessione scientifica del mondo greco.

Pitagora nacque nell’isola di Samo, Mare Egeo, vicino all’Asia Minore, intorno al 570 a.C., a due passi da Mileto, la culla della civiltà greco-ionica  di Talete e Anassimandro, suoi maestri. Noi e la nostra cultura veniamo da lì.

Passò verso il 530 a.C. in Italia meridionale, in Magna Grecia, e fondò a Crotone la colonia dei seguaci in forma di setta religiosa, all’insegna dell’affermazione “tutto è numero”. I principi numerici furono i fondamenti  su cui Pitagora basò la sua filosofia universale, che impiegava il concetto di armonia musicale e matematica per far danzare ogni realtà, inclusi gli astri, al suono di una musica matematica fondata su progressioni e medie armoniche:  per 2.000 anni queste idee saranno condivise dagli studiosi.

All’apice della colonizzazione greca, Pitagora mise alla prova il suo progetto di società utopistica a base spirituale, filosofica, scientifica. Nella setta venivamo ammessi uomini e donne, in pari numero. La confraternita  era una forma di vita e si strutturava mediante l’accesso alla conoscenza magico-matematica che i membri dovevano dimostrare e a cui dovevano integralmente aderire.

Ma saranno, anni dopo, Filolao, Platone, Archita, a rifondare il pitagorismo su base scientifica e consegnarcelo, insieme ad Aristotele ed Euclide, come patrimonio imperituro della conoscenza, dopo 200 anni dalla morte del grande di Samo.

Tralascio Pitagora come uomo pubblico e assertore di modelli mistico-religiosi-filosofici per  concentrarmi sul teorema, che rappresenta la soluzione a un classico problema di geometria  dall’enorme impatto teorico (e pratico).

Il suo enunciato, in termini geometrici specialistici, è il seguente: dato un triangolo di vertici ABC, l’angolo in A è retto (ossia il triangolo è rettangolo) se l’area del quadrato costruito sul lato i, opposto a A, è la somma delle aree dei quadrati costruiti sugli altri due lati c1 e c2.

La prima ed essenziale priorità del teorema è la determinazione della perpendicolarità: i cateti sono perpendicolari. Nel mondo reale e pratico dell’antica Grecia verificare la perpendicolarità era importantissimo per architetti, agrimensori e tanti altri operatori del mondo pratico e reale.

Prima di Pitagora, Babilonia e la Mesopotamia (circa 1.500 anni prima) erano a conoscenza di come calcolare le terne pitagoriche, ossia le combinazioni di numeri positivi (a,b,c) tali per cui   = .

Ad esempio, non solo (3,4,5), ma (5,12,13), (8,15,17). Ciò è dimostrato dalle oltre 300 tavolette di argilla cuneiformi ritrovate, di carattere matematico. In sostanza, esisteva un algoritmo babilonese di creazione delle terne. A seguire, anche in India e in Cina (500 a.C.) l’enunciato sul triangolo rettangolo produsse dimostrazioni consistenti e corrette.

Pitagora, per la verità, non lasciò alcun scritto. Non esiste alcuna dimostrazione del teorema di sua mano. Solo in seguito avvenne l’attribuzione, e naturalmente fu  nel libro di geometria più importante, costituito dagli “Elementi” di Euclide, tredici libri che sono la summa delle conoscenze geometriche intorno al 300 a.C, pervenuto e tradotto fin dall’epoca medievale.

C’era, tuttavia, un problema che rimaneva sconcertante per l’antica Grecia: quello dei numeri irrazionali. Scaturiva, quasi contemporaneamente (420 a.C), dagli studi di Ippaso di Metaponto sul quadrato. Nonostante il quadrato fosse una figura molto semplice, i primi pitagorici non conoscevano nessuno che fosse riuscito a calcolarne la diagonale.

Ci riuscì Ippaso, utilizzando il teorema del maestro e considerando il lato del quadrato di misura uguale a 1: bastava usare riga e compasso. Scomposto il quadrato in due triangoli e applicando il teorema per calcolare l’ipotenusa (come diagonale del quadrato), scoprì che non era un numero intero, né una frazione: il numero era non commensurabile, ovvero una grandezza non conteneva un’altra un numero intero di volte!  

Oggi, con moderna terminologia matematica, diciamo che un triangolo rettangolo dai cateti uguali a 1 ha l’ipotenusa del valore “radice quadrata di 2” ed è un numero algebrico irrazionale, un numero con infinite cifre dopo la virgola (1,41421356…ecc).

L’esistenza di frazioni incommensurabili era per i greci inconcepibile, poiché faceva saltare in aria la relazione di identificazione assoluta tra il numero e la geometria, alla base delle loro elaborazioni!

Il quadrato era dunque una forma geometrica che portava in sé il germe della distruzione tra geometria ed aritmetica (numeri)!

Il difetto fondamentale della matematica greca fu proprio questa sua incapacità di ammettere il concetto di numero irrazionale. Ne derivò la distinzione forzata tra numero, algebra e geometria che durerà nei secoli fino a Cartesio intorno al 1630.

Su ogni triangolo rettangolo possiamo varie  operazioni. Ad esempio, questa.

Spero di avervi convinto che il teorema di Pitagora è fondamento di gran parte delle nostre operazioni di geometria.